Suite exacte courte de Frobenius

Soit $m>0$ et soit $A$ un élément de $M(n,\mathbb{K})$. On pose $E=\mathbb{K}^m$.

La suite des noyaux itérés

$${0}\subset \mathrm{Ker}(A) \subset \mathrm{Ker}(A^2) \subset \cdots \subset \mathrm{Ker}(A^k) \subset \cdots$$

est strictement croissante avant d'être stationnaire.

Démonstration.

La suite est croissante de manière évidente, puisque si $x$ est un élément de $E$ donné, on a les implications : $$x\in\mathrm{Ker}(A) \Rightarrow Ax=0_E \Rightarrow A(Ax)=A0_E \Rightarrow A^2x=0 \Rightarrow x\in\mathrm{Ker}(A^2).$$

C'est une conséquence de la suite exacte courte de Frobénius :

$$0 \longrightarrow \mathrm{Ker}(A^{k})\longrightarrow \mathrm{Ker}(A^{k+1})\xrightarrow[]{A^k} \mathrm{Ker}(A)\cap\mathrm{Im}(A^k)\longrightarrow 0$$ qui donne directement l'égalité : $$\mathrm{dim}\:\mathrm{Ker}(A^{k+1})-\mathrm{dim}\:\mathrm{Ker}(A^{k})=\mathrm{dim}\:(\mathrm{Ker}(A)\cap \mathrm{Im}(A^k)).$$

bouh