La suite des noyaux itérés

Soit $m>0$ un entier et soit $A$ un élément de $M(n,\mathbb{K})$. On pose $E=\mathbb{K}^m$.

$${0}\subset \mathrm{Ker}(A) \subset \mathrm{Ker}(A^2) \subset \cdots \subset \mathrm{Ker}(A^k) \subset \cdots$$

est strictement croissante avant d'être stationnaire.

Démonstration.

La suite est croissante de manière évidente, puisque si $x$ est un élément de $E$ donné, on a les implications : $$x\in\mathrm{Ker}(A) \Rightarrow Ax=0_E \Rightarrow A(Ax)=A0_E \Rightarrow A^2x=0 \Rightarrow x\in\mathrm{Ker}(A^2),$$ et on généralise par récurrence.

La suite d'entiers de terme général $\dim \mathrm{Ker}(A^k)$ est croissante et majorée par $m=\dim E$, donc elle est stationnaire.

Le fait qu'elle est en réalité strictement croissante avant de stationner provient de l'inégalité sur les dimensions :

$$\dim \mathrm{Ker}(A^{k+1})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k})\leqslant \dim \mathrm{Ker}(A^{k})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k-1}),$$

liée à l'existence des injections de Frobenius.

Il existe un plus petit rang $k$ pour lequel $\dim \mathrm{Ker}(A^{k})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k-1})=0$, car la suite d'entiers de terme général $\dim \mathrm{Ker}(A^k)$ est stationnaire ;
l'inégalité sur les dimensions montre alors que $\dim \mathrm{Ker}(A^{k+1})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k})=0$, et qu'il en est de même pour tous les rangs au-delà de $k$ ;
rétroactivement, la suite d'entiers de terme général $\dim \mathrm{Ker}(A^k)$ est strictement croissante avant ce même rang $k$, ce qu'il fallait démontrer.