L'injection de Frobenius

Soit $m>0$ un entier et soit $A$ un élément de $M(n,\mathbb{K})$. On pose $E=\mathbb{K}^m$.

On démarre avec l'observation suivante, où $x$ désigne un élément quelconque de $E$ : $$x\in \mathrm{Ker}(A^{k+1})\iff A^{k+1}x=0_E\iff A^k\cdot Ax=0_E \iff Ax \in \mathrm{Ker}(A^k),$$ ce qui permet de considérer l'application linéaire : $$\mathrm{Ker}(A^{k+1})\xrightarrow[]{A}\mathrm{Ker}(A^k).$$

Considérons la composée $\varphi=p\circ A$, où $p$ est la projection canonique de passage au quotient : $$\mathrm{Ker}(A^{k+1})\xrightarrow[]{A}\mathrm{Ker}(A^k)\xrightarrow[]{p}\mathrm{Ker}(A^k)/\mathrm{Ker}(A^{k-1}).$$ Soit $x$ un élément de $E$. $$\begin{array}{ccl} x\in\mathrm{Ker}(\varphi)&\iff& Ax \in \mathrm{Ker}(A^{k-1})\\ &\iff& x\in \mathrm{Ker}(A^k)\\ \end{array}$$

Donc $\mathrm{Ker}(\varphi)=\mathrm{Ker}(A^k)$. Cela montre que $\varphi$ se factorise en une application injective $\tilde{\varphi}$ par passage au quotient. $$\mathrm{Ker}(A^{k+1})/\mathrm{Ker}(A^{k})\xrightarrow[]{\tilde{\varphi}}\mathrm{Ker}(A^k)/\mathrm{Ker}(A^{k-1}).$$ En passant aux dimensions : $$\dim \mathrm{Ker}(A^{k+1})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k})\leqslant \dim \mathrm{Ker}(A^{k})-\dim \mathrm{Ker}(A^{k-1}).$$

Cette inégalité permet d'analyser en détail la suite des noyaux itérés.